最近学习电磁学，对于电偶极子的概念有些不太理解，遂对此做了一番探究。

摘要

在我们的日常生活中，遇到的大部分物体或者说研究对象，都是电中性的，所以其实我们感兴趣的是这种普遍的，常见的电中性物体的电学性质，而真空中的一对电偶极子就是最简单的电中性的系统，因此我们可以通过研究电偶极子来逐步了解客观物理世界中的更为复杂的情况。

笛卡尔坐标系

考虑这样一对真空中的电偶极子：

Figure 1：电偶极子示意图

可以分别写出正负电荷（假设带电量分别为 \(+q\) 和 \(-q\)）分别在 \(p\) 处的产生的电场：

\[E_{+}\left(x,y\right) = k\frac{q}{r_{p,+}^3}\cdot\boldsymbol{r_{p,+}}\]

\[E_{-}\left(x,y\right) = -k\frac{q}{r_{p,-}^3}\cdot\boldsymbol{r_{p,-}}\]

其中：

\[\boldsymbol{r_{p,+}} = \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_+}\qquad \boldsymbol{r_{p,-}} = \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_-}\]

从而得出整个系统在 \(p\) 处产生的电场：

\[E\left(x,y\right) = k\frac{q}{\left|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_+}\right|^3}\cdot\left(\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_+}\right)-k\frac{q}{\left|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_-}\right|^3}\cdot\left(\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_-}\right)\]

从图中几何关系可以得出：

\[\boldsymbol{r_+} = a\cdot \boldsymbol{j}\qquad \boldsymbol{r_-} = -a\cdot \boldsymbol{j}\qquad \boldsymbol{r} = x\cdot\boldsymbol{i}+y\cdot\boldsymbol{j}\]

带入可以写出电场强度在笛卡尔坐标系下的表达式：

\[E_+\left(x,y\right) = \frac{kq}{\left[x^2+\left(y-a\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}\cdot\left[x\cdot\boldsymbol{i}+\left(y-a\right)\cdot \boldsymbol{j}\right] = \frac{kq}{r^3\left(1+S_+\right)^{\frac{3}{2}}}\cdot\left[x\cdot\boldsymbol{i}+\left(y-a\right)\cdot \boldsymbol{j}\right] \]

\[E_-\left(x,y\right) = -\frac{kq}{\left[x^2+\left(y+a\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}\cdot\left[x\cdot\boldsymbol{i}+\left(y+a\right)\cdot \boldsymbol{j}\right] = -\frac{kq}{r^3\left(1+S_-\right)^{\frac{3}{2}}}\cdot\left[x\cdot\boldsymbol{i}+\left(y+a\right)\cdot \boldsymbol{j}\right] \]

其中 \(S_+ = \frac{-2ay+a^2}{r^2}\,,\,S_- = \frac{2ay+a^2}{r^2}\,,\,r = \left(x^2+y^2\right)^{\frac{1}{2}}\)，通过对上面两个复杂的式子进行整理，我们可以写出系统产生的电场强度在 \(\boldsymbol{i}\) 和 \(\boldsymbol{j}\) 方向上的分量：

\[E_x\left(x,y\right) = \frac{kqx}{r^3}\left[\frac{1}{\left(1+S_+\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\left(1+S_-\right)^{\frac{3}{2}}}\right]\]

\[E_y\left(x,y\right)\ = \frac{kq}{r^3}\left[\frac{y-a}{\left(1+S_+\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{y+a}{\left(1+S_-\right)^{\frac{3}{2}}}\right]\]

当 \(r >> a\) 时，我们可以将 \(\frac{1}{\left(1+S_+\right)^{\frac{3}{2}}}\) 和 \(\frac{1}{\left(1+S_-\right)^{\frac{3}{2}}}\)  \(Taylor\) 展开：

\[\left(1+S_+\right)^{-\frac{3}{2}} = 1-\frac{3}{2}S_+ + \cdots \qquad \left(1+S_-\right)^{-\frac{3}{2}} = 1-\frac{3}{2}S_- + \cdots\]

取其线性主部（在这里我们只取前两项）带入原式：

\[E_x\left(x,y\right) = \frac{kqx}{r^3}\left[1-\frac{3}{2}S_+ - \left(1-\frac{3}{2}S_-\right)\right]= \frac{3kqx}{2r^3}\left(S_- - S_+\right)=\frac{6kqxay}{r^5} = \frac{3pkxy}{r^5} \]

\begin{align}E_y\left(x,y\right) &= \frac{kq}{r^3}\left[\left(y-a\right)\left(1-\frac{3}{2}S_+\right)-\left(y+a\right)\left(1-\frac{3}{2}S_-\right)\right]\\ &=\frac{kq}{r^3}\left[-2a + \frac{3}{2}y\left(S_--S_+\right)+\frac{3}{2}a\left(S_++S_-\right)\right]\\ &= \frac{kq}{r^3}\left(-2a+\frac{6ay^2}{r^2}+\frac{3a^3}{r^2}\right)\\&\approx \frac{kq}{r^3}\left(-2a+\frac{6ay^2}{r^2}\right)\\ &= \frac{kp}{r^3}\left(-1 + \frac{3y^2}{r^2}\right)\end{align}

在对 \(E_y\) 的推导过程中，由于 \(\frac{3a^3}{r^2}\) 的影响非常小，所以将其忽略。式中的 \(p\) 是电偶极矩的模，且 \(p = 2aq\).

接下来，我们将在极坐标下对上面两个表达式进行进一步的化简。

极坐标

我们令 \(y = r\cos{\theta}\,,\, x = r\sin{\theta}\)，可以得出：

\[E_x\left(r,\theta\right) = \frac{3kp}{r^3}\cos{\theta}\sin{\theta}\]

\[E_y\left(r,\theta\right) = \frac{kp}{r^3}\left(3\cos^2{\theta} - 1\right)\]

接着我们对两个方向进行合成：

\begin{align}E\left(r,\theta\right) &= \frac{kp}{r^3}\left[3\cos{\theta}\sin{\theta}\cdot\boldsymbol{i}+\left(3\cos^2{\theta}-1\right)\cdot\boldsymbol{j}\right] \\ &= \frac{kp}{r^3}\left[2\cos{\theta}\sin{\theta}\cdot\boldsymbol{i} + \cos{\theta}\sin{\theta}\cdot\boldsymbol{i}+2\cos^2{\theta}\cdot\boldsymbol{j}+\left(\cos^2{\theta}-1\right)\cdot\boldsymbol{j}\right]\\ &= \frac{kp}{r^3}\left[2\cos{\theta}\left(\sin{\theta}\cdot\boldsymbol{i}+\cos{\theta}\cdot\boldsymbol{j}\right)+\sin{\theta}\left(\cos{\theta}\cdot\boldsymbol{i}-\sin{\theta}\cdot\boldsymbol{j}\right)\right]\end{align}

到这里我们基本上就要成功了。注意到对于单位向量 \(\boldsymbol{r}\) 和 \(\boldsymbol{\theta}\) ，我们可以将它们分解到 \(\boldsymbol{i}\) 和 \(\boldsymbol{j}\) 方向上：

\[\boldsymbol{r} = \sin{\theta}\cdot\boldsymbol{i}+\cos{\theta}\cdot\boldsymbol{j}\qquad \boldsymbol{\theta} = \cos{\theta}\cdot\boldsymbol{i} - \sin{\theta}\cdot\boldsymbol{j}\]

Figure 2：单位向量的转化关系

因此我们得到了一对电偶极子在空间中任意一点 \(p\) 产生的电场强度的最终表达式：

\[E\left(r,\theta\right) = \frac{kp}{r^3}\left(2\cos{\theta}\cdot\boldsymbol{r}+\sin{\theta}\cdot\boldsymbol{\theta}\right)\]